Sets

Link naar dit blog:
allergrootste.blogspot.nl/2017/08/sets.html
edit 2019.

§1.3 Sets

Getallen zijn wiskundige objecten die eigenschappen dragen. Voor iedere eigenschap bestaat er een set {e0.,ei..} waarvan de elementen alle verzamelbare objecten met die eigenschap zijn.
Vanuit de logica dat het bestaat ∃ om alle ∀ voorkomende gevallen te bevatten, is een uitgebreide set theorie ontwikkeld, die allerlei wiskundige objecten ordent³ en oneindige sets verklaart.⁴

Twee belangrijke operaties met sets, waarmee we elementen kunnen introduceren of elimineren:
De vereniging van twee sets A∪B vormt een set, waarin alle elementen uit A en B voorkomen, maar elk eenmalig. Dit selecteert een groter (plus) of gelijk aantal elementen.
De doorsnede van de sets A∩B is de set van alle elementen, die zowel in A als in B voorkomen. Dit selecteert een kleiner (geen) of gelijk aantal elementen.

Verzamelingen van getallen zijn praktisch bruikbaar, maar set theorie is te vergevorderd en gekunsteld om de eenvoudige aritmetica op te baseren. Tellen en herhalen, de constructie van getallen, gaat aan hun vertaling naar sets vooraf, niet andersom.⁵
Hoewel we objecten kunnen verzamelen in een set en de elementen dan nummeren⁶, kunnen we ook simpel tellen tot een getal, zoals in §1.1, los van verzameling en objecten. Dubbel of verkeerd geteld blijft geteld, items die we overslaan komen niet terug in het totaal, maar met het getal is verder prima te rekenen.

De correspondentie tussen set en aantal blijft problematisch.⁷ Een set dient uit unieke elementen te bestaan en is vaak onbeperkt, maar natuurlijke getallen zijn eindige series van eenzelfde tel.
Tussen sets onderling is er niet vanzelf een welordening, die er met de kleiner dan < relatie tussen getallen wel is. Want getallen 1.. en hun ordening zijn simpeler dan sets en de element relatie, hoewel men in de wiskunde graag begint met moeilijk doen.⁸

Dus hoe kunnen we sets tellen, en sets gebruiken om te tellen, en zijn er ook sets die getallen zijn?⁹
Een set tellen is het tellen van zijn elementen. Het aantal elementen van een set heet zijn kardinaal getal. Wij noemen dit de rij lengte, omdat we geordende sets gaan gebruiken als index arrays, waar elementen hun eigen plaats krijgen in de rij.

Om getallen uit te drukken kunnen sets dienst doen als een lijst namen. We kunnen ieder natuurlijk getal laten corresponderen met een unieke set in onze lijst namen en iedere set naam met een getal. Zo'n = register heet een bijectie.

Verzamelde elementen hoeven geen externe objecten te zijn, zoals getallen. Een hele set structuur kan alleen bestaan uit sets.
Zulke holle structuren hebben als bouwsteen de lege set, die niets bevat (ook 0 niet) en die we origineel als {} schrijven. De lege set benoemt per definitie het getal {}=0 nul, in wat volgt. Of was het natuurlijker om een lege set die toch iets is …de 1 toe te kennen?

^3. Opbouw van de ordeningsstructuren, p.43-49 in "Sesam Atlas van de wiskunde 1" 1977.
^4. Er is altijd een eerstvolgend getal dat nog niet gebruikt is, ch.10 Cantor's ordinal numbers, in Conway & Guy "The Book of Numbers" 1996.
^5. Alle elementen van sets moeten zelf sets zijn, p.89 The Von Neumann universe, in Manin "A Course in Mathematical Logic for Mathematicians" 2010.
^6. Tellen is gewoon het vervangen van de onhandige standaard set door cijfers, ch.1 Counting, in Thurston "The Number System" 1956.
^7. Een bepaalde niet ter zake doende structuur, h.11 Getallen, in Halmos "Intuïtieve Verzamelingenleer" 1968.
^8. De < relatie tussen de natuurlijke getallen is per definitie de ∈ relatie, ch.1.10 Transfinite numbers, in Malitz "Introduction to Mathematical Logic" 1979.
^9. Een set tellen betekent zijn elementen op die manier te ordenen, in Pohlers "Proof theory" 2009.