Enen

Link naar dit blog:
allergrootste.blogspot.nl/2017/08/enen.html
edit 2019.

§1.1 Enen

Na nul komt het eerste positieve getal een 1, dat iets voorstelt.
Tevens is 1 een unit of eenheid van getal. Door units 1 op te tellen (met vingers tellen) kan ieder natuurlijk aantal worden begrepen.

Deze interne telfunctie van 1, waarmee een extern object bij een verzameling objecten wordt geteld, werd door grondlegger van de moderne wiskunde David Hilbert das Ding 1 genoemd, omdat het zelfstandig ten opzichte van de logica bestaat.¹

Volgt een circulaire definitie, waarin we enen tellen, zodat het aantal 1:a identiek is met een uniek getal a.

a ≡ 1.. :a>0
ω = 1...

Introductie van units 1 is willekeurig. Het getal volgt als we stoppen met tellen. Zonder halt te houden (zonder einde aan de repetitie) kan tellen in theorie oneindig doorgaan.
Het eerste oneindige getal is omega ω. Per definitie is ω de kleinste limiet, die met tellen nooit bereikt wordt.
Praktisch is de grens van elke handeling natuurkundig bepaald, dus ook van het tellen. Bijvoorbeeld: stil tellen tot duizend is mentaal al extreem, met vingers opsteken erbij wordt het dat ook fysiek!

Samen met 0 als geen een 1:0 vormen alle eindige reeksen 1:n de verzameling van de natuurlijke getallen.

 1 -> 0
11 -> 1
n1 -> n

In deze ordening is elk getal n1 de opvolger -> van vorig getal n. Steeds 1 tel erbij, te beginnen bij 0, krijgt elk natuurlijk getal zijn eigen plaats in de reeks.

# Systematiek 1.1

Zulke minimaal groter pijlen passen we toe:

-> tussen getallen, links de direkte opvolger van getal rechts.

-> tussen structuren, waar een nieuwe index (links) de laatste overtreft en zo de maat neemt van die structuur (rechts).

-> voor de expressie die direkt volgt, of anders vrijwel volgt ≈> op een insignificant grotere expressie.

Dit is groter dan > met klein ≈> of strikt het kleinst -> verschil dus.
Ook leiden we voor de vergelijking van systemen de minimaal kleiner tekens <- en <≈ net zo af van < kleiner dan.

Kleiner en groter geven de natuurlijke ordening aan van getallen.

a>b <=> b<a
    <=> bc=a & c>0

Ons systeem evalueert expressies in eenvoudige stappen. Wat we reductie noemen is de evaluatie van een rekenkundige formule in de tijd naar unair getal. We reduceren input door er regels in serie op toe te passen, tot de output de primaire vorm heeft van een rij enen.
Om meerdere stappen tegelijk te kunnen begrijpen, gebruiken we hulpmiddelen zoals repetities, subexpressies en speciale variabelen.

Als iets bij 0 (in het begin) waar is, en voor ieder getal als we er 1 bij optellen (door naar de volgende gaan) logisch waar blijft, dan moet het via inductie gelden voor alle natuurlijke getallen (of met doorlopende nummering geordende objecten).

Om functies vooraf te laten gaan aan het leren tellen, lijkt overdreven en onnatuurlijk. Toch definieerde Peano de natuurlijke getallen zo², met herhaalde substitutie in een successor functie S vanaf 0.

01 = S(0)
11 = S(1) = S(S(0))
n1 = S(n) == S(..0..) :n1:

Vervangen we de omschriften S() rechts door units 1, dan telt dat op tot hetzelfde getal. Successors verschillen niet echt van enen. En hun definitie blijft circulair, want het aantal geneste functies S drukt het getal uit. Enen tellen is simpeler en fundamenteel.

Een iteratie zal de enen van een variabele 1.. aftellen tot deze leeg of 1 is. Dan krijgt een eliminatie regel prioriteit, die het lege element opheft, of anders houden we de positie aan, om later een groot getal naar de iterator op te laden. Er hoeft geen 0 aan te pas te komen. Een afgetelde iter is nooit een match in de iteratie regel.

Zonder modulaire reductie van getallen, per m≡0 regel, is er geen simpele eliminatie van enen. Zo wordt de output van expressies al gauw erg groot, en praktisch niet meer te tellen.
Nieuwe tekens en regels comprimeren getallen, zodat kortere input significant grotere output kan produceren. Iteraties tellen hun indexen af, en de expressie als geheel groeit.
Is het indelen van expressies in types of klassen eigenlijk ook een vereenvoudiging van getallen? Een extremere vorm van comprimering, voorbij de regels, of kan dat niet…?

^1. Combinaties van het ding 1 met zichzelf, in David Hilbert "On the foundations of logic and arithmetic" 1904, p.131 in "From Frege to Gödel" 1967.
^2. Een operatie s, die intuitief gedacht 1 optelt, III.67 The Peano axioms, in "The Princeton Companion to Mathematics" 2008.