Nesten

Link naar dit blog:
allergrootste.blogspot.nl/2017/08/nesten.html
edit 2019.

§1.4 Nesten

Te beginnen met de lege set omvatten we deze verder (stap na stap) met de element ∈ relatie. Zo'n set als element nesten in een set telt 1 op bij het getal voor de gehele set. Uit het aantal paren haakjes is de geneste diepte af te lezen die een natuurlijk getal geeft. Onze settige namen voor getallen stoppen we dan in een verzameling van eenvoudige nestgetallen, bijvoorbeeld.

Eenvoudige nestgetallen hebben in iedere set steeds 1 element, behalve de binnenste {} die 0 elementen telt.
0-eenvoudige nestgetallen bestaan uit lege sets naast sets met 2 elementen, behalve voor 1 omdat {{},{}} tot {{}} reduceert.

• {..} :n1: = {.{..}.} :n:
• {.{},{..}.} :n: = {{},{.{},{..}.}} :n-:

Deze duo reps herhalen de met stippen geselecteerde tekens tegelijk aan beide zijden, hier van buiten naar binnen. Het aantal herhalingen staat apart van de expressie in de :n: rep.

In beide systemen kunnen we haakjes tellen waar het aantal geneste sets maximaal is, om het uitgedrukte getal n af te lezen. We scannen expressies l-r en tellen sluithaakjes }.. tot we hun maximum aantal gevonden hebben. Hier is dat op het eind van de expressie. We tellen vanaf de diepste 0 set {} van binnen naar buiten.

Een reguliere set kan genest zijn als element ∈ van een andere set, maar nooit x∉x in zichzelf of in een van zijn elementen. Er mogen geen elkaar omvattende sets in de keten voorkomen, of oneindige ketens zonder begin element.¹⁰ Binnen beginnen en de nesten naar buiten toe tellen voorkomt deze irregulaire constructies.
Volgens het axioma van regulariteit kan er bij het terugtellen ∋ over elementen, altijd een minimale set worden gevonden. Maar set ketens worden met ∈ van binnenuit gevormd. Bij de oneindige nesten van limiet ordinalen¹¹ zoals omega ω, kan van boven af terugtellen per definitie niet. Tellen moet dus bij een binnenste 0 set beginnen.

Zonder gebruik van repetitie, door het aantal iteraties als variabele te substitueren binnen de expressie, kunnen we deze reduceren met primitieve stappen. Zo ook in de evaluatie van sets met eenvoudige en 0-eenvoudige nesten tot getallen.

• {} ≡ 0 & {n} ≡ n1 .
• {} ≡ 0 & {0} ≡ 1 & {0,n} ≡ n1 .

In de stapsgewijze reductie van deze holle sets tot getal, ontstaan er onderweg sets met getallen als elementen. Dit systeem van sets is geen bijectie, omdat meerdere sets evalueren tot hetzelfde getal.

Stel dat we onze eenvoudige nestgetallen gebruiken voor variabele e>0 elementen in een {E} functie array met vaste plaatsen. Dat laten we werken volgens een maximaal lineair algoritme met optellen en opladen van getallen.
Zo tellen twee eenvoudige nestgetallen herhaald op.

• {{A},{B},1Z} = {{A},{B}{A},Z} = {{A},{{B}}A,Z}
• {B}.{..} :a1: = {{B}}.{..} :a: == {..B..}.{} :a1: = {..B..} :a1:

Laat hierin arrays die met de nul set beginnen ,{{} een separator array tussen eenvoudige variabelen in voorstellen, die hogere functie dimensies opent en op dezelfde wijze weer nest.
En laat arrays die met de 1 set beginnen, een volgend type arrays openen, die het eerdere type verdiepen en zelf afwisselend op de 0 en 1 wijze genest kunnen worden.
Enzovoort voor arrays die met n sets beginnen…
Hoe krachtig zijn de expressies van zulke holle bolle sets…? En als meerdere arrays van gemixt type de variabelen scheiden…?

^10. Er bestaat geen oneindig afdalende ∈ serie, ch.4 in Mendelson "Introduction to Mathematical Logic" 1964.
^11. Ordinaalgetallen die geen onmiddelijke voorganger hebben noemt men limiet ordinaalgetallen, h.2.3 in Horsten "Eindig, Oneindig, meer dan Oneindig" 2004.