Bellenblazer

Link naar dit blog:
allergrootste.blogspot.nl/2017/11/bellenblazer.html
edit jan.2019.

§2.5 Bellenblazer

We gaan een array functie ontwerpen voor grote ge­tallen met simpele, natuur­lijke regels. Dit Bellen­blazer systeem heeft een con­stante aas a>0 en een varia­bele bel b≥0 in de basis. Door de aas her­haald op te tellen bij de bel groeit daar een sub­totaal, waar­mee we afge­telde ite­raties keer op keer nieuw leven inblazen.
Het grote idee van bellen­blazen¹³ is, dat ook zonder substi­tutie van de hele functie (sub­expressies), maar enkel met optellen en substi­tutie van varia­belen (op­laden) een functie maxi­maal kan worden.

Het Bellen­blazer algo­ritme begint met het op­tellen van a.. azen.
Voor de eerste iter in de rij, de factor c van vermenig­vuldiging, staat sep­arator ,[1] die we ook wel := schrijven als , enkele komma.

• [,[1]1]a := [,1]a = [a,]a = [a]a = a
• [b,[1]2]a := [b,2]a = [ba,1]a = [baa]a = aab
• [b,[1]1c]a := [ba,c]a == [ba{1c}]a = a*c1+b

We schuiven b hogerop in de functie en zetten a er­voor in de plaats in de basis. Dit is niet signi­ficant kleiner dan een regel die een kopie van b ver­laadt. Dat kan ook, maar leidt tot verdub­belen, meteen al zonder vermenig­vuldiging. Dit zagen we met Super­plussen in box 2.1 en met Péter's functie en later weer met ons Wiele­waal systeem.

We zullen Bellen­blazer expressies op twee manieren schrijven. Onze uitgeklede array notatie helpt om bere­keningen op te bouwen:
• Strikt volgens de defi­nitie, de bel binnen de array [b,X]a en de aas rechts er­buiten. Bel b tellen we van rechts bij.
• Of zonder functie haken b,X maar met a erin genoemd. We keren een bel ba alvast om ab uit de array vorm.

Na index 2 komt iter d van machts­verheffen, wat vermenig­vuldiging a*.. her­haald. De 3e iter e stapelt machten a^.. als een toren van expo­nenten, te be­ginnen met de hoogste expo­nent. Dit is een bel b, die we met een pop operator \^ boven­op de reeks machten plaatsen.

• [,[2]2d]a := a,[2]1d = 0,[1]a,[2]d = a*a,[2]d == a*..a,[2]1 :d = a**d2 = a^(d+2)
• [b,[3]1e]a {b>0} = [,[2]b,[3]e]a := a**b,[3]e == a**..b,[3]1 :e = a**..b :e1 = a^^e1\^b

De Bellen­blazer rij is een lineaire array functie die Knuth's pijlen ^{n} weer­geeft. We willen dat de iteraties kloppen met deze super­machten, waarbij we iters en al hun indexen (niet alleen de eerste in sub­arrays) af­tellen tot ze leeg 0 zijn en dan opruimen.

Na dit stroeve begin verloopt de evaluatie van Bellen­blazer soms zelfs makke­lijker dan die van super­sterren. De regels van beide sys­temen ver­schillen enigs­zins, maar de­zelfde getallen kunnen we met super pop­sterren of met Bellen­blazer arrays uit­drukken.
Neem twee passages uit de eva­luatie naar een getal a****f3, waar varia­belen met dakjes ^^ staan voor in­middels uit­gewerkte getallen. Popster intro met pop­schuiven == vatten we in Bellen­blazer samen = met de regel voor op­laden van de bel van links.

• a*{4}3f = a+*{3}a*{4}2f == a*{3}a+*{3}a*{4}1f == a^^-a+*{2}a*{3}1+*{3}a*{4}1f = a*{2}a^^-a+*{3}a*{4}1f == a^^a+*{3}a*{4}1f == a*{3}a^^^2+*{3}a*{4}f == a^^^3+*{3}a*{4}f
• [,[4]3f]a := a,[4]2f = ,[3]a,[4]1f == a^^a-,[3]1,[4]1f = ,[2]a^^a-,[4]1f == a^a^^a-,[4]1f = ,[3]a^^a,[4]f == a^^a^^a,[4]f === a^^..a :f2 = a^^^f3

Array systemen voor grote ge­tallen starten we links met kleine ite­raties en bouwen de grotere struc­turen rechts aan. We redu­ceren iters in een expressie l-r van links naar rechts, de grotere later. Series af­komstig van de meest rechtse ite­raties zijn het langst, maar die komen dus pas later in de eva­luatie vol­ledig aan bij de bel.
Voor Bellen­blazer is bepalend dat we iter­atoren links 1Z willen af­tellen en daar­na recht­streeks op­laden met de bel. In de bel moeten we dus steeds aan de rechter kant erbij tellen, wat kortere series a.. alvast naar links duwt, want na opladen komen die het eerst aan de beurt.
Wat links staat is kleiner en evalueren we eerder en blijft links houden. Dit is onze array telvorm.

Maar als we commu­tatief optellen zoals Cantor^f, dan vallen kleinere getallen weg als er rechts een groter on­eindig ge­tal naast staat. Terwijl we ons algo­ritme willen af­stemmen op het blazen van on­eindige azen. Kleinere series ω.. moeten blijven bij­dragen aan het totaal.
Om de uitkomst af te lezen uit de array expressie draaien we een bel bω gewoon ωb om. Zo krijgen onze onein­dige getallen de wis­kundig gang­bare r-l tel­richting, de Cantor telvorm.
Mocht de wis­kunde over­stag gaan en de l-r richting van onze arrays over­nemen (eerst links klein dan rechts groot), dan kan regel B.0. de moge­lijk on­eindige output bw alsnog zo laten.

Definitie Bellen­blazer B.I van de construct *{1} array rij.

• B.0. [bw]a = wb
• B.1. [b,[1]1Z]a = [ba,[1]Z]a
• B.2a. [X,[n]]a = [X]a B.2b. [b,[n],Z]a = [b,Z]a
• B.3. [,[1n]1Z]a = [a,[1n]Z]a
• B.4. [b,[2n]1Z]a = [,[1n]b,[2n]Z]a

Deze regels matchen door = de hele expressie. Onder voor­behoud in B.4. dat {b>0} kunnen ze in elke volg­orde worden toe­gepast.
De lege sep ,[] is hierbij niet nodig, maar zou kunnen weg­vallen met poptellen, zodat a,[]b1 per unit 1 links bijtelt tot b1a.

De primitieve stap met optellen van aas en bel in regel B.1. is een klasse *{0} constructie. Hoofdregel B.3. itereert over elementen ,[n] in de *{1} rij structuur, waar­mee we super­machten uit­drukken. Echte functie recursie met nesten van sub­expressies is on­nodig, want in diep geneste arrays is het opladen van bel b vrijwel maxi­maal.

Hulpregels b.I voor notaties := en samen­vatting in Bellen­blazer.

• b.1. ,[1]1 := ,1
• b.2. [b,Z]a {a∈Z} := b,Z
• b.3. [1b,[2S]1Z]a = [a,[1S]b,[2S]Z]a

In een systeem met binaire code kan aan ge­tallen een 0 vooraf gaan. Andere tekens krijgen een dubbele nul prefix 001{n} met nummer. Leeg getelde elementen worden dan gevolgd door 000 tekens.

Tekens voor evaluatie, vervang de linker expressie door die rechts:

 = Evaluatie van de gehele expressie.

== Pas voorgaande evaluaties herhaald toe.

`= Herschrijf de eerste l-r match in expressie.

=` Evalueer de match die l-r het eerst eindigt.

 ≡ Is altijd equivalent, maar l-r met voorrang.

?= Werk operaties uit met voorrangsregels.

=! Werk operaties strikt rechts associatief uit.

:= Ga over naar een alternatieve notatie.

=: Keer de evaluatie richting tijdelijk om.

 ≈ Is ongeveer gelijk aan.

≈> Is insignificant groter dan.

<≈ Is insignificant kleiner dan.

=# Waardes in volgorde van evaluatie.

Formuleren we de eerste rij van Bellen­blazer, de lineaire array, met super­macht operaties.

• [,[1n]1f]a := a,[1n]f = a,[n]a-,[1n]f- = a*{n}a,[1n]f- == a*{n}(..a..) :f: = a*{n1}f1
• [f₀.,[1n_i]f_i..]a :r {f>0} = f₀.+*{n_i}a*{1n_i}f_i.. :r = ..a^{n_i}f_i\*{n_i}.f₀ r:

Links in de array kan de bel vanaf f0=0 beginnen, als deze optelt + bij een element ,[1]f1 dat a her­haald optelt.
Of bel f0>0 vermenig­vuldigt * na her­haald vermenig­vuldigen, als eerst het element ,[2]f1 komt. Dit is nog commu­tatief.
Anders volgt eerst ,[1n1]f1 wat een super­exponent *{n1}b blaast op een toren van ope­raties *{n1}a die we van rechts uit­werken.
Uit de eva­luatie volgt dat elke vol­gende index op de rij ni1>ni een hogere super­macht is. Maar de bel die we op­laden onder een index kan daar­voor ni<ni- gevormd zijn uit hogere super­machten. Dat ligt dan aan de input expressie.

Iedere iteratie is de rechts bijge­telde serie 1.. in de bel weer langer dan daar­voor. Bellen worden naar iters en indexen ver­laden en van links weer afge­teld. Bij on­eindige :ω reeksen van a.. lezen we de output af ω: in Cantor's tel­richting.
Een samengestelde aas zouden we in aan­vang a=nω omkeren. En omega ω is in onze arrays van links oneindig af­telbaar. Omega keer min -{ω}ω afge­teld van omega telt de iter 0 leeg. Hoewel we min - tekens liever achter ge­tallen noteren.
In een successor functie Ω^g zullen we ω opvatten als oneindige unit. Zoals unit 1 de natuur­lijke ge­tallen vanaf 0 telt, zo stamt unit ω af van 1 op een hoger plan.^h

De Bellen­blazer rij geeft de elemen­taire ope­raties en super­machten mooi weer. Dit is onze natuur­lijke lineaire array functie.
Als sub­totaal b opgeladen wordt komt de bel leeg. Vanuit deze situatie moeten we diepere index posities opladen. Om zo'n functie natuurlijk en maximaal te maken voor geneste arrays, is dat mogelijk…?

^f. Sommige verzamelingen getallen kunnen niet oneindig worden afgeteld, gg: Count from omega in "Bigger" voor Btrix matrix (iteror 2014).
^g. Omega-telbaar binnen een bigOmega functie, gg: Omega oneindigheid in "Mathmuis... plaatst een Record Getal" voor NAW (concept 2010).
^h. Een volgende grotere oneindigheid in Omega Ω, gg: Higher omega in "Omega jumps" voor Btrix matrix (iteror 2014).

^13. Zolang de Bel leefde was de Bellen­blazer buiten zichzelf geweest, uit Peter Sloterdijk "Sferen" 2005, p.219 in Joke Hermsen "Stil de tijd" 2009.

Aasnesten

Link naar dit blog:
allergrootste.blogspot.nl/2017/11/aasnesten.html
edit 2019.

§2.4 Aasnesten

We kunnen Aas­blazer gebruiken als super radix systeem, zodat ieder geheel getal een unieke input ex­pressie heeft. In radix ex­pressies zijn alle para­meters en indexen kleiner dan het basis getal a.
De Aas­blazer evaluatie trein rijdt met aas a ver naar rechts de array in, vult station na station de voor­gaande elementen, tot getal a bij bel b aan­komt en uit­eindelijk optelt tot een groot output getal.

Aas­blazer A.II klasse *{2} geneste arrays.

• A.0. a[bw] = wb
• A.1. ,[] `= 0
• A.2. ,[X]0 ≡ 0
• A.3. ,[1X]1 ≡ ,[X]a,[1X]

De laatste regel is de recursie stap, daarvoor de eliminatie regels.
We nesten rood in blauw ,[X] voor situaties die op elk array niveau voor­komen, groen in blauw ,[X] op top niveau.

Per regel A.1. valt de nulde komma ,[] weg, ook als er links geen getal staat: aan het begin van een sub­array. Nul sep elim is de enige `= aan l-r richting gebonden regel van Aas­blazer (hopelijk blijft dat zo). En dat komt alleen, omdat we zulke mis­plaatste nul seps rechts in de rij input toe­laten, en output zoals altijd uniek bepaald moet zijn.

De equivalentie A.2. verwijdert de seps van leeg­getelde iters 0 aan een array einde of middenin, op elk niveau in geneste arrays.
De meta-tekens 0 geven een leeg   getal aan op die positie in de expressie. Strikt genomen is het cijfer 0 niet aanwezig, aangezien alle getallen in ons systeem uit units 1.. bestaan.

Hulpregels a.II blijven bij aas­nesten van kracht.
Nu worden Aas­blazer's indexen dieper genest: met de tweede rij iters ,[d,1]c waarin de komma , het derde array niveau ,[1] opent.

Tel met de 2e index e het aantal azen a*e in de exponent, en daar met de 1e index d enen bij op.

• a[,[,[1]1]1] = a[,[,1]1] = a[,[a]1] = a^a
• a[b,[,1]c] = a[b,[a]c] = a^a*c+b
• a[,[1,1]1] = a[,[,1]a] = a^a*a = a^a1
• a[,[1,1]c] = a^a1*c
• a[,[2,1]1] = a^a2
• a[,[d,1]1] = a^ad
• a[,[,2]1] = a^(a*2)
• a[,[,e]1] = a^(a*e)
• a[b,[d,e]c] = a^(a*e+d)*c+b

Door deze super radix een index dieper te nesten, gebruiken we al een dubbele expo­nent, zoals in expo­nentiële notatie.
Zo is 10[,[3,1]2] = 2E13 een recent schulden­plafond van de Ameri­kaanse over­heid, namelijk twintig biljoen dollar [US$ 20 trillion].

In Aas­blazer is elk element een machts­factor: de index array vormt een macht van a met rechts zijn factor of cijfer.
Als we de machts­factoren binnen een geneste array met regel A.3. apart uit­werken, zetten we die index rij om naar een enkel getal. Dit index getal fungeert dan weer als expo­nent, ergens in de grote brede boom van machten van a.

Druk de dubbele exponent a^a^n uit met indexen op het 2e niveau in Aas­blazer, waar de dubbel geneste 1e index de posities aan­geeft.

• a[,[,[2]1]c] = a^a^2*c
• a[,[d,[2]1]1] = a^a^2*a^d = a^(a^2+d)
• a[,[,[1]e,[2]1]1] = a^(a^2+a*e)
• a[,[,[2]2]1] = a^(a^2*2)
• a[,[,[2]f]1] = a^(a^2*f)
• a[,[,[3]1]1] = a^a^3
• a[,[,[3]g]1] = a^(a^3*g)
• a[,[,[n]1]1] = a^a^n

Als we een groot getal in een radix noteren, verschilt de expressie lengte¹¹ niet signi­ficant van de unaire vorm. Zonder indexen, in een radix systeem waar machten gegeven zijn door hun plaats, scheelt dit slechts de eerste expo­nent in de machts­toren. Dus radix ex­pressie lengte is nauwe­lijks kleiner dan het grote getal zelf.
De recursie in regel A.3. definieert Aas­blazer als radix. De rest is index­ering. Daarom is Aas­blazer een mini­maal algo­ritme.∴

De input expressies van non-random grote getallen blijven in de Aas­blazer super radix goed leesbaar, omdat er geen reeks nullen hoeft te worden toe­gevoegd. Ons systeem doet het cijfer 0 in de ban. Ook lege plaatsen hoeven niet voor te komen, als we elementen na hun laatste iteratie meteen via regel a.3. op­ruimen.
Toch is de super radix structuur in de uitwerking van grote getallen niet bijster klein. Het aantal elementen dat Aas­blazer voor de evaluatie van a^a^n in gebruik neemt is a^n. Tijdens passages in Aas­blazer wordt de ex­pressie lengte iets groter dan bij een tradi­tionele radix, maar blijft bijna een exponent kleiner dan bij unaire notatie.

# Googologie 2.4

Als we telbare of meervoudige separatoren ,[S].. hadden gebruikt, dan zou zo'n systeem de begin positie van elke index rij uitsparen. Dit geldt voor meerdere gelijke seps (met dezelfde index array) die iter posities aan­geven, niet de vele mix^e varianten die moge­lijk zijn.
Hierboven in Aas­blazer representeert de eerste index d dat meer­voud. De index rij in S zou daarop met e beginnen, waar de meer­voudige e index moet ite­reren over aan­tallen {d} via een aparte regel.

Om meer expansie uit onze seps te halen, kunnen we deze beter met iter en al her­halen. Zo'n array systeem (dat o.a. Bird toepast) heeft ook andere regels nodig, om de maten van dimensies te ver­groten.
Een element is een sep-iter paar, dat in een rijen in rij struc­tuur op een bepaald array niveau is genest.
Doordat de exacte positie, die een iter betekenis geeft, afhangt van voor­gaande index arrays, staan alle elementen vast in een file, binnen lagen van array dimensies. Afge­telde elementen tussen­in mogen niet ver­vallen. We zouden ook cijfers 0 kunnen in­lassen, of (zoals bij Bird) ite­raties af­tellen tot 1 en deze alleen aan het array einde ver­wijderen.

Vergelijk de Aas­blazer indexering met een systeem dat meer­voudige komma's her­haalt. We schetsten met opeen­volgende separa­toren het multi­dimensionale aspect van onze dubbel geneste [n] index.

• ,[d] = , (sep in rij 1)
• ,[,1] = ,, (open rij 2)
• ,[d,1] = , (sep in rij 2)
• ,[,e] = ,, (rij sep in vlak 1)
• ,[,[2]1] = ,,, (open vlak 2)
• ,[,e,[2]1] = ,, (rij in vlak 2)
• ,[,[2]f] = ,,, (vlak in kubus)
• ,[,[3]g] = ,{4} (3e in 4e dim)
• ,[,[n]m] = ,{n1} (dim seps)

Als dezelfde index arrays herhaald worden binnen hun dimensie, lijkt zo'n structuur op een matrix. Deze matrix notatie loopt per nest een niveau op onze notatie uit. Het meer­voudige aspect scheelt daarbij maar één index, dat laten we vanaf nu achter­wege.

Dan blijkt het tweede sub­array niveau [n] bij unieke seps overeen te komen met de eerste sub­array [n1] van her­haalde seps. Binnen dieper geneste arrays zal het­zelfde structuur ver­schil gelden.
De vertaling tussen beide systemen is daarmee gegeven. Met unieke index posities zijn onze blazers twee keer zo diep genest, als we met her­haalde indexen hoeven doen.∴

In Aas­blazer kan elke array tot een getal herleid worden, dat voor de array erboven een nieuwe expo­nent uit­drukt. Een her­haalbare matrix zal per geneste array twee expo­nenten aan zijn toren toe­voegen.
Als we dieper nesten, blijkt dat de super­exponent a^^n van tetratie precies bereikt wordt met nest niveau n in Aas­blazer. Als we dus onze super radix zouden matrix her­halen tot diepte n, dan zou de super­exponent a^^nn ver­dubbeld worden.
Dat is niet zo fraai. Daarom gebiedt de esthe­tiek, dat uniek index­eren de natuur­lijke notatie voor array functies is…

De overeenkomst tussen array niveau's en de uitgedrukte expo­nenten blijkt gaandeweg. Een ver­dieping van indexen voegt een expo­nent toe aan de machts­toren van de output.

Een array niveau dieper, voegen we de derde exponent toe aan onze super radix, met de eerste index op het 4e niveau.

• a[,[,[,[1]1]1]1] = a^a^a = a^^3
• a[,[,[,1]1]c] = a^^3*c
• a[,[,[,1]e]1] = a^^3^e = a^(a^a*e)
• a[,[d,[,1]e]1] = a^(a^a*e+d)
• a[,[,[1,1]1]1] = a^(a^a*a) = a^a^a1
• a[,[,[,2]1]1] = a^(a^a*a^a) = a^a^aa
• a[,[,[f,g]1]1] = a^a^(a*g+f)
• a[,[,[,[2]1]1]1] = a^a^a^2
• a[,[,[,[2]h]1]1] = a^a^(a^2*h)
• a[,[,[,[n]1]1]1] = a^a^a^n

In theorie zijn alle gehele getallen in dit domein uniek uit te drukken met cijfers 0<ci<a in deze super radix. Maar prak­tisch kunnen we slechts enkele markante grote ge­tallen schrijven.
De lengte van random getallen¹² input in Aas­blazer is vanaf tetratie vrijwel gelijk aan de lengte als enen output. Zelfs in het domein tot 10^^4 ont­snappen de meeste ge­tallen aan al onze fysisch moge­lijke notatie systemen, willen we wedden…?!

Geneste arrays in Aas­blazer werken we uit tot tetratie.

• a[,[,[,[,[1]1]1]1]1] = a[,[,[,[a]1]1]1] = a^a^a^a = a^^4
• a[.,[..1].1] :n: = a^..1 :n = a^^n
• a.[p_i,..q_i] :n>0: = a^(..1..)*q_i+p_i :n:

Neem een Aas­blazer expressie met geneste index tot array niveau 5, ongeveer gelijk aan een tetratie 2^^5. Tijdens de reductie daar­van tot een reeks enen, zullen in de top array een aantal van 2^^4 factoren voorbij­komen met elk hun eigen index array.
Voor de fysische uitwerking van zulke getallen zijn er in het hele heelal niet genoeg quantum bits. De quantum bit radix van de kosmos kan random ge­tallen schrijven tot 2^10^120 of kleiner eigenlijk, omdat de natuur­wetten alle infor­matie compri­meren.

Dat Aas­blazer een minimaal systeem is, maakt het geschikt voor het op­meten van systemen voor grotere ge­tallen. Op een expo­nent na telt onze super radix de ele­menten in ieder array systeem, dat zijn iteraties heeft inge­bed in dezelfde structuren.
We ontwikkelen Aas­blazer verder als super radix, terwijl we aas a blijven substi­tueren, en nieuwe regels afpassen op de super­machten. Zo zullen we auto­matische sjablonen vormen voor de struc­turen van Bellen­blazer, die bel b invoegt, maar geen rare andere regels toepast. En wat compu­teerbaar is, is in hogere zin weer recursief…!
Maar voorlopig gaan we met behulp van (de maximale structuren van) onze minimale functie een maximale getallen­blaas­machine ijken.

Lastig is nu nog om de overgang tussen types recursie te faci­literen. Een nieuwe hogere index n in Aas­blazer zal a^^n tellen bij het output getal. Con­struct *{2} bestaat uit geneste rijen. De nieuwe regel zal de nest­diepte dus ex­panderen, met één ver­dieping per stap, waar­mee we naar con­struct *{3} uit­breiden.
Is de vraag wat de simpelste regel in Aas­blazer is, waarvan de limiet naar de volgende super­macht a^^^ω gaat…?

^e. Een combinatie van gemixte ster indexen, gg: Mixed minority stars in "Number operations" voor bigPsi (concept 2011).

^11. Hoe codeer­systemen, codes en unieke descripties relateren aan waarschijn­lijkheid, ch.4 in Peter D. Grünwald "The minimum description length principle" 2007.
^12. Het begrip random bij getallen heeft vele lagen, p.124 in Gregory Chaitlin "Meta maths, the quest for omega" 2005.