Saturday 26 August 2017

Ordinalen

§1.5 Ordinalen

Als van een set een begin element gegeven is, en een functie die alle elementen stapsgewijs selecteert, dan heet die set welgeordend.
Het keuze axioma stelt dat er altijd een manier is, om uit een set een element te kiezen: eerst e0 en zo voort de items ei. Zo kan de meest chaotische set welgeordend worden gemaakt, maar helaas is die keuze functie ietsje complexer dan de set zelf.
Grote en oneindige sets indexeren we (tijdens hun constructie) met inductie. De index voor een element geeft zijn plaats en/of nummer.

Soms corresponderen sets een-op-een met de verzameling van de natuurlijke getallen. Dan hebben deze sets per definitie omega ω elementen.
Zulke vergelijkingen tussen sets voerde Cantor12 verder, ver in het oneindige door. Hij zocht oneindige limieten gebaseerd op ω om de verzameling van alle reële getallen te kunnen tellen.

Cantor gebruikte ordinale sets om verzamelingen van getallen te representeren en zo te tellen. Voor eindige sets hoeft dat niet, want elementen krijgen natuurlijke indexen, en de rij lengte is het ordinaal getal. Maar bij oneindige sets maakt de wijze van tellen groot verschil.13 Daar bepaalt de een-op-een correspondentie met een standaard ordinale set het aantal elementen.

Von Neumann ordinalen zijn ordinale sets met als elementen alle voorgaande ordinalen, te beginnen met de lege set, welgeordend op rij. Von Neumann vertaalde zijn ordinalen14 een-op-een naar de natuurlijke getallen, een bijectie.

  • {} = 0
  • {{}} = 1
  • {{}, {{}}} = 2
  • {{}, {{}}, {{},{{}}}} = 3
  • {N} = n => {N}{{N}} = {N,{N}} = n1

Zowel de top rij lengte als de totale set diepte geven in ordinale sets het ordinaal getal. Het aantal set niveau's bepalen we door in elke rij steeds rechts de grootste subset in te stappen.
De lege set {} is de unieke set15 die niets bevat. In dit systeem worden lege sets tot getal 0 gereduceerd. Als de nul set echt niets zou zijn, moesten we al zulke items elimineren, en zou het hele holle kaartenhuis van de ordinalen tot niets vervallen.

Ordinale sets S- aftellen op 6 manieren:
verenig S = e0.ei.. alle items.
versnijd set Sem met zijn supremum.
vervang S door zijn grootste em item.
verwijder het laatste item em uit de rij.
verminder subsets ei- recursief, en/of:
vernietig alle lege sets in de diepte.
Gangbaar om lengtes af te tellen is verwijdering.

Bij gewone natuurlijke getallen 1.. gebruiken we de typisch ordinale aftel operaties niet. Ordinalen zijn een soort natuurlijke getallen, maar de ordinale structuur biedt veel meer ruimte. Wie met ordinale sets alleen een rij getallen indexeert, merkt geen verschil, maar dan verspilt men hun rijke structuur.

Als een ordinaal 1 toeneemt, verdubbelt de grootte van de expressie en wordt deze in zijn geheel genest. De complexe ordinale structuur, waar voor getal n in totaal 2^n sets zijn gebruikt, kan toch niet de fundamentele definitie van de natuurlijke getallen geven?
Optellen met ordinalen toont hoe onnatuurlijk dit is, zeker vergeleken met automatisch optellen van enen 1.. in unit notatie.

  • 2+2 = 2+1+1 = 3+1 = 4
  • {{},{{}}} + {{},{{}}} = {{},{{}}} + {{}} + {{}} = {{},{{}},{{},{{}}}} + {{}} = {{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}
  • 22 = 1111

Er is nog een probleem met omega ω. We zagen in §1.4 dat de eenvoudige nestgetallen al voldoende expressief waren om de natuurlijke getallen weer te geven. Nu heeft iedere ordinale set alle eerdere ordinalen als subset. Waar tellen 1.. één keer naar limiet ω gaat, gebeurt dat binnen de ordinale structuur oneindig veel keren. …Zou dat ten koste gaan van de eenduidigheid van ordinale getallen?

12. Georg Cantor "Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers" 1895 & 1897, p.1137 in "God created the integers" 2007.
13. De valkuil om te denken dat kardinalen en ordinalen gelijk zijn, ch.13 Order versus the cardinals, in Clegg "A brief history of Infinity" 2003.
14. Iedere ordinaal is de set van de ordinalen die eraan vooraf gaan, in John von Neumann "On the introduction of transfinite numbers" 1923, p.347 in "From Frege to Gödel".
15. We noemen de lege set of de nul set, p.62-67 Set theory, in Crossley "What Is Mathematical Logic?" 1972.
Gulliver meegevoerd door de Lilliputters op een groot bed

No comments:

Post a Comment