Waarden

Link naar dit blog:
allergrootste.blogspot.nl/2017/09/waarden.html
edit 2019.

§1.6 Waarden

Door 1 op te tellen bij een ordinaal, neemt de set rij met 1 element toe en wordt de set 1 niveau genest. Lengte en diepte groeien parallel aan het ordinaal getal. We kunnen stellen dat de maten van beide dimensies in sets even belangrijk zijn.
Om de set structuur te waarderen nemen we nu de som van diepte en lengte. Dat werkt ook bij ordinale sets. Deze waardering vormt geen welordening, want de som kan groter worden dan de rij lengte alleen, en is dus ongeschikt om de elementen in een set te indexeren.

De rijen structuur van arrays is dezelfde als die van sets, zonder dat de set regel, dat elk rij element uniek moet zijn, daarbij is opgelegd.
Naast lengte en diepte speelt ook de getalswaarde van elementen mee. Getallen zijn immers uit te drukken als ordinalen en vice versa.

Zo waarderen we arrays en sets net als ordinalen:

• {0,{0},{0,{0}},{0,{0},{0,{0}}}} ≡ {0,1,{0,1},{0,1,{0,1}}} ≡ {0,1,2,{0,1,2}} ≡ {0,1,2,3} ≡ 4
• {{{0},1},{2,3},4} = {{1},{2,3},4} = {2,{2,3},4} = {2,4} = 5
• [[[0,0,0,0],1],[2,3],4] = [[4,1],[2,3],4] = [5,[2,3],4] = [5,4,4] = 6

Door geneste sets vanuit de diepte l-r te vervangen door een getal, determineren we elke set. Zo worden ordinale sets iteratief tot hun ordinaal getal herleid¹⁶ en soortgelijke structuren, andere sets en arrays, tot hun ordinale waarde.

Stel nu dat we een getal of parameter koppelen aan elke geneste array. Dan verandert de set structuur in een geneste functie array, waar de sets de parameters indexeren. Maar de output van zo'n array hoeft geen groot getal te zijn. We kunnen de waarde van deze structuur ook weer met optellen determineren.

Ordinale evaluatie van items, lengte, diepte in sets:

Loop in een rij S langs de items. Als een item een rij is, loop daar dan in verder als in S.

Als S de lege set is, zet er waarde 0 voor in de plaats.

Als de rij lengte r>ei groter is dan de waarde van elk item, vervang dan S door waarde r.

Zoek anders het grootste item em≥ei en vervang S door em1.

Ordinale evaluatie van parameter en set in arrays:

Zodra een index array zijn waarde heeft, telt de gekoppelde eipi parameter erbij op.

In geneste functie arrays bepalen parameters op diepte d1 de index array waarde voor een gekoppelde parameter op diepte d. Voor de totale array volgt de waarde pi.. :d door herhaaldelijk optellen. Ofwel w*w als we parameters en diepte de waarde w geven.

Dit in contrast met de hogere array functies, die met dezelfde geneste structuur razend snel groeien en enorm grote getallen produceren.
Dit bewijst dat er een geneste functie is, waarin elke variabele en elke dimensie significant kan zijn, die even langzaam of weinig expressief is als vermenigvuldiging.∴

De virtuele parameter die we rechts aan sets kunnen koppelen is {X}0 nul. Dan blijken sets nog relatief expressief te zijn, want in functie arrays negeren of elimineren we zulke separatoren bij de tot 0 of 1 afgetelde parameters.

Welke setwaarde natuurlijk is is moeilijk te bepalen.

Gewoon tellen van een verzameling objecten geeft de rij lengte of de kardinale waarde w.

Een set met een genest element of rij lengte w op diepte w kreeg ordinaal de waarde w*2.

Een verzameling getallen die we optellen, heeft een orde van grootte van waarde w*w.

Tellen we alle waarden in geneste sets op vanaf diepte w, dan is het totaal ongeveer w^w.

De structuur van sets en arrays sommeert tot de waarde w^w, wanneer we in elke rij steeds w rijen nesten tot maximaal een diepte w vanaf de basis. Dit vormt een matrix met gelijke dimensies, waar in de diepste rij elk element 1 is.

[[[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]],
 [[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]],
 [[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]] =
[[3,3,3],[3,3,3],[3,3,3]] =
  [9,9,9] = 27.

Zoals in een volgend blog §2.3 de geneste structuur van index array en getal in functie arrays de waarde w^^w krijgt door het optellen en opladen van een constante w. Deze geneste radix functie noemen we Aasblazer. De waarde ervan is natuurlijk voor deze structuur.
Vandaar dat we de structuur van sets, als voorganger van de geneste functie arrays, het best de waarde w^w toekennen. Met de introductie van index arrays wordt de komma , separator overbodig.

Cantor telde elementen van sets met behulp van ordinalen.¹⁷ Toch lijken de ordinalen de drie set tekens {,} te verspillen door er enkel natuurlijke getallen mee weer te geven. We zagen in §1.4 al, dat de expressieve kracht van holle bolle sets, waar eenvoudige nestgetallen in plaats nemen, snel explosief wordt.
Tellen is het zuinigst te funderen met units 1. Ordinale sets zijn erg verkwistend. Tenzij… iemand de extra faciliteiten voor op en aftellen, die Von Neumann ordinalen in §1.5 boden, elegant weet te benutten?

^16. Elke welgeordende set is isomorf aan een uniek ordinaal getal, Ordinal Numbers, theorem 2.12 in Jech "Set Theory" 2006.
^17. Ordinalen uitgedrukt als polynomen met machten van ω, 11.7 Ordinal Notations + exercises, in Rogers "Theory of Recursive Functions and Effective Computability" 1967.